分割ババ抜き
(普通の)トランプで遊べる有名なゲームのひとつに「ババ抜き」がありますね。今回紹介するのは、ババ抜きに集合要素と戦略性が加わったゲーム、分割ババ抜き です!
この記事は、数学ゲーム Advent Calendar 2018 の 19 日目を担当しています:
概要
このゲームでは、集合の 分割 という概念をコンセプトにしています。*1
ざっくりと言えば、例えば
と と
と と と と
は、それぞれ の分割になっている、といった感じです。詳しくは、以下の記事を参照するか、wikipedia などを当たってください:
ルール
通常のババ抜きよろしく、プレイヤーを 2 人以上用意して、よくシャッフルした集合トランプ全 64 枚をできるだけ均等になるように配ります。ここで、「最初にカードを 1 枚抜いておく」とかいう処理は必要ありません。64 枚すべてを配りきってしまってください。
このあとのゲームの流れは、通常のババ抜きとほとんど同様です。適当な方法で順番を決めて、順番に隣のプレイヤーの手札からカードを 1 枚引くことを繰り返していき、手札が早くなくなった順に順位がつきます。
カードの減らし方
さて、肝心なのは「捨てられるカードの条件」ですね。
手札中にある 合計 2 枚とは限らない カードの組み合わせが、 の分割になっているならば、手札から除外することができます。(ただし、同じ集合が書かれたカードを 2 枚同時に組み合わせることはできないものとします)
具体例を挙げると、以下のような組み合わせであればよいです:
- (1 枚でもよい!)
逆に、以下のような組み合わせはダメです:
ここで「手札から除外する」なんて遠回しな表現をしていることにはちゃんと理由があります。というのも、除外するカードの枚数によって「除外されたカードの行き先」が変わります:
2 枚の組み合わせで除外する場合は、単に捨て札になります。(画像左上の矢印が示す移動)
しかし、2 枚ではない場合は、除外したカードを自分の場にストックしておくことができます。(画像下の矢印が示す移動)
そして、手札のカード 1 枚 と自分の場札のカード 1 枚 で、先ほどの条件 1. ~ 3. を満たす *4 組み合わせがあれば、その 2 枚を捨て札へ送ることができます。(画像右上の矢印が示す移動)
すなわち、カードを自分の場にストックしておくと、捨てられるカードの種類が増えるので、有利にゲームを進められるというわけです。
なお、このゲームの勝利条件はあくまで「手札をなくすこと」とします。つまり、自分の場に何枚カードが残っていようが、手札がなくなったらその時点で勝ち抜けです。
「ババ」の所在
以上のルールからわかるように、 は捨てることができません。ババですね。
さらに、3 枚以上の組み合わせでカードが手札から除外されると、世界のババの数が変動します。
例えば、あるプレイヤー A が という組み合わせでカードを手札から除外、自分の場札にストックしたとします。すると、 が "無駄遣い" されてしまったために、世界に 2 枚ある のうちどちらか 1 枚が出せないことが確定します。ただし、プレイヤー A だけは例外で、手札にババとなった が来てしまっても、場札の と組み合わせて捨てることができるのです。
ゲームの終わり方
以上で述べた通り、このゲームにおけるババの枚数は一定ではありません。というか、そもそも初期状態でババが 2 枚存在しているので、通常のババ抜きのように「最後の 1 人になったらゲーム終了!」とすることはできません。
そこで、プレイヤー全員の手札をすべて合わせても、その中から の分割が作れない 状態になったら、ゲームを終了して、その時点で持っているカードの枚数が少ない順に、残ったプレイヤーの順位を定めることにしましょう。
そして、そのような状態になっているかどうかを判定するためには、場札を見ればよいです。具体的には、
が成り立ちます。
第 1 項の 2 は、どうやっても捨てられない 2 枚分のことで、第 2 項がそれ以外のババの枚数を表しています。基本的には「場にあるカードの補集合」がババとして残ることになるのですが、場の中で補集合の関係にある組み合わせが存在する場合は、それらが "打ち消し合う" ことで、ババの枚数には影響しなくなります。この補正項が、第 3 項というわけです。よって、上の式は
と言い換えることもできます。こちらの方が見た目はスッキリしますね。
なお、= ではなく ≦ なのは、場にあるカードの補集合になっている手札を 3 枚以上集めることではじめて の分割を作ることができる場合が存在するためです。とはいえ、ゲームの最終局面においては、このようなケースが生じている可能性はきわめて低いと考えられる*5 ため、等号が成立していると思ってよいでしょう。
以上を踏まえると、ゲームの終了判定は、カードの枚数が十分に減った状態において、
= 2 +(場の でないカードのうち、補集合のペアになるものを除いた枚数)
が成り立っているかを確認する、という形で行うことができます。
例を挙げると、このような場においては、現在のババの枚数は と計算されます。 この状況においてババになっているカードは、 2 枚の他には ですね。これらを 2 枚組にして捨てるには、場にあるカードが必要となるためです。
派生ルール
の扱い
分割ババ抜きでは、カードを除外できる条件を「 の分割であること」としていましたが、これを
と変更してみるとどうでしょう。すなわち、以下のような組み合わせでカードを捨ててもよいことにします:
このルールでは、カード 2 枚からなる分割に をくっつけることで、カード 3 枚からなる分割にすることができます。そうすれば、自分の場にストックできるようになりますね。 の捨て方に戦略が生まれます。
ちなみに、このルールを採用すると、ゲーム開始時においてババが世界に 1 枚も存在しません。ババ抜きとは。
補集合ババ抜き
上の条件をさらに変更して、
とすれば、ゲームが非常にシンプルになります。というのも、要は「補集合の関係にあるペアが捨てられる ババ抜き」になるのです。あまり集合に慣れ親しんでいない方々は、はじめはこちらのルールで、集合トランプでのババ抜きに慣れるのがよいかもしれません。
このルールでは、通常のババ抜きと同様に、はじめに何らかのカード( とか?)を 1 枚抜いておく必要があることに注意してください。
まとめ
その名前のイメージとは裏腹に、心理戦だけでなく戦略性もが生じる 分割ババ抜き の紹介でした。また、もっとシンプルな、いわゆる "ババ抜き" と同じ感覚で遊べる 補集合ババ抜き も、"分割ババ抜きの特殊な場合" として定まりました。
ところで、ババ抜きの他にも、通常のトランプにおける有名なゲームにはいろいろ、例えば「大富豪」「7 並べ」などがありますね。これらに "対応した" 集合トランプゲームもあるので、順を追って紹介したいと思います。お楽しみに~